Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，侧面SAB⊥底面ABCD，且SA＝SB＝AB＝BC＝2，AD＝1．

（1）设E为棱SB的中点，求证：AE⊥平面SBC；

（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性质可证BC⊥AE，利用三线合一的性质可得AE⊥SB，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量公式即可求解．

证明：∵侧面SAB⊥底面ABCD，

侧面SAB∩底面ABCD＝AB，AB⊥BC，BC在平面ABCD内，

∴BC⊥平面SAB，

又AE在平面SAB内，

∴BC⊥AE，

又SA＝AB，在△SAB中，AE⊥SB，

又BC∩SB＝B，且都在平面SBC内，

∴AE⊥平面SBC；

（2）依题意，以为原点，分别为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则
，

则，

设平面SCD的一个法向量为，

则，令，则，

易知平面SAB的一个法向量为，

∴，

∴平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大小为．