Question

（2013•重庆）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2

3

，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=

π

3

．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的

1

8

．求出△BCD的面积S_△BCD，再根据三棱锥P-BDF的体积 V=V_P-BCD-V_F-BCD=

1

3

•S△BCD•PA-

1

3

•S△BCD• 

1

8

•PA，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ∠ACB=∠ACD=

π

3

，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，
∴三棱锥F-BCD的高是三棱锥P-BCD的高的

1

8

．
△BCD的面积S_△BCD=

1

2

BC•CD•sin∠BCD=

1

2

×2×2×sin

2π

3

=

3

．
∴三棱锥P-BDF的体积 V=V_P-BCD-V_F-BCD=

1

3

•S△BCD•PA-

1

3

•S△BCD• 

1

8

•PA=

7

8

×

1

3

•S△BCD•PA
=

7

24

×

3

×2

3

=

7

4

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．