Question

对于二项式(

1

x

+x3)n的展开式（n∈N^*），四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N^*，展开式中有常数项；
②对任意n∈N^*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N^*，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N^*，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是（　　）

• A、①与③
• B、②与③
• C、①与④
• D、②与④

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，1得到n满足的条件，得到选项．

解答：解：(

1

x

+x3)n展开式的通项为T_r+1=C_n^rx^4r-n（其中r=0，1，2，…n）
令4r-n=0得r=

n

4

故当n是4的倍数时，展开式存在常数项
故①对②不对
令4r-n=1得r=

n+1

4

故当n+1是4的整数倍时，展开式中有x的一次项，
故③不对④对
故选C

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式，解决二项展开式的特定项问题．