Question

如图，已知P是椭圆上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆的中心，B是椭圆的上顶点，H是直线（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率的平方的值．

Answer 1

解：依题意，作图如下：

∵F（c，0）是椭圆的右焦点，PF⊥OF，
∴P（c，），
∴直线OP的斜率k==；
又H是直线（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，
∴H（-，0），又B（0，b），
∴直线HB的斜率k′==；
∵HB∥OP，
∴=，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=．
分析：依题意，可求得P（c，），H（-，0），利用HB∥OP求得c²=ab，再利用椭圆的性质即可求得e²．
点评：本题考查椭圆的性质，利用HB∥OP求得c²=ab是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．