Question

已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x²＋2x＋m.
(1)求证：函数f(x)－g(x)必有零点；
(2)设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）见解析（2）m≤0或m≥2

(1)证明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x²＋2x＋m)＝－x²＋(m－2)x＋(3－m)．
由Δ₁＝(m－2)²＋4(3－m)＝m²－8m＋16＝(m－4)²≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．
(2)解：|G(x)|＝|－x²＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x²－(m－2)x＋(m－2)|，
Δ₂＝(m－2)²－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，
①当Δ₂≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x²－(m－2)x＋(m－2)，
若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．
②当Δ₂＞0，即m＜2或m＞6时，
若m＜2，则＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；
若m＞6，则＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m＞6.
综上，m≤0或m≥2.