Question

12．（1）已知$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=2（{x＞0\;，\;\;y＞0}）$，求xy的最小值
（2）已知x、y∈R⁺，且2x+5y=20，求xy的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于x＞0，y＞0，则2=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$≥2$\sqrt{\frac{6}{xy}}$，变形即可得出．
（2）由题意和基本不等式可得xy=$\frac{1}{10}$•2x•5y≤$\frac{1}{10}$•（$\frac{2x+5y}{2}$）²=10，验证等号成立即可．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴2=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$≥2$\sqrt{\frac{6}{xy}}$，当且仅当x=2，y=3时取等号，
∴xy≥6，
∴xy的最小值为6，
（2）∵x＞0，y＞0，且2x+5y=20，
∴xy=$\frac{1}{10}$•2x•5y≤$\frac{1}{10}$•（$\frac{2x+5y}{2}$）²=10，当且仅当2x=5y即x=5且y=2时取等号，
∴xy的最大值为10．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．