Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：化简函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．为一个角的一个三角函数的形式，
（I）直接根据周期公式求出函数的最小正周期；
（II）借助正弦函数的单调减区间，求函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a的单调递减区间；
（III）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为-2．，求出2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，当x=

π

2

取得最小值求解即可．

解答：解：（I）f(x)=2sin2xcos

π

6

+cos2x+a=

3

sin2x+cos2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a
∴f（x）的最小正周期，T=

2π

ω

=

2π

2

=π
（II）因为y=sinx的减区间为：2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
所以2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）时，函数f（x）单调递减，
故所求区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)
（III）x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]∴x=

π

2

时
f（x）取得最小值∴2sin(2•

π

2

+

π

6

)+a=-2×

1

2

+a=-2    ∴a=-1．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．