Question

10．对任何实数x，y，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，试求$\frac{f（2）}{f（1）}+\frac{f（3）}{f（2）}+\frac{f（4）}{f（3）}+…+\;\frac{f（2015）}{f（2014）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$的值．

Answer 1

分析 利用抽象函数的关系式，推出$\frac{f（x+1）}{f（x）}$的值，然后利用数列的求和求解即可．

解答 解：对任何实数x，y，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，
可得：f（x+1）=f（x）f（1），
即：$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=2，
所以$\frac{f（2）}{f（1）}+\frac{f（3）}{f（2）}+\frac{f（4）}{f（3）}+…+\;\frac{f（2015）}{f（2014）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$
=2+2+2+…+2
=2015×2
=4030．

点评 本题考查抽象函数的应用，数列求和，考查计算能力．