Question

17．（1）计算 $\frac{\sqrt{3}sin（-\frac{20}{3}π）}{tan\frac{11}{3}π}$-cos$\frac{13}{4}$π•tan（-$\frac{37}{4}$π）．
（2）已知tan α=$\frac{4}{3}$，求下列各式的值：①$\frac{sin2α+2sinαcosα}{2cos2α-sin2α}$；②sin αcos α．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
（2）①由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．②由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可计算得解．

解答 解：（1）$\frac{\sqrt{3}sin（-\frac{20}{3}π）}{tan\frac{11}{3}π}$-cos$\frac{13}{4}$π•tan（-$\frac{37}{4}$π）=$\frac{-\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}}{tan\frac{2π}{3}}$-（-cos$\frac{π}{4}$）×（-tan$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$．  
（2）∵tan α=$\frac{4}{3}$，
①$\frac{sin2α+2sinαcosα}{2cos2α-sin2α}$=$\frac{2sinαcosα}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α-sinαcosα}$=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α-tanα}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-（\frac{4}{3}）^{2}-\frac{4}{3}}$=-$\frac{24}{19}$；    
②sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{12}{25}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．