Question

（2013•青岛二模）已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)-2cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=0，若向量

m

=(1，sinB)与向量

n

=(2，sinC)共线，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin(2x-

π

6

)-1．令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间，从而求得函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）由f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0，求得A的值．由向量

m

=(1，sinB)与向量

n

=(2，sinC)共线，可得sinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，再由余弦定理求得

a

b

的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)-2cos2x=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-(cos2x+1)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1，…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z) 求得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
所以，f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．…（6分）
（Ⅱ）∵f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0，则sin(2A-

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．…（8分）
∵向量

m

=(1，sinB)与向量

n

=(2，sinC)共线，
∴sinC=2sinB，由正弦定理得，c=2b．…（10分）
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos

π

3

，即a²=b²+4b²-2b²，
解得

a

b

=

3

…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，正弦定理、余弦定理、以及两个向量共线的性质，属于中档题．