Question

若函数f（x）=lg（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：因为函数f（x）=lg（x+

a

x

-3）为函数y=lgx与y=（x+

a

x

-3）的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，因为函数y=lgx在定义域内为增函数，要想复合函数为增函数，只需在定义域上y=（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上为单调递增函数，同时还要保证真数恒大于零，由函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围

解答： 解：∵函数f（x）=lg（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上单调递增
∴y=（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上为单调递增函数，
∴y′=1-

a

x2

≥0，在[2，+∞）恒成立，
当a≤0时，显然y′=1-

a

x2

≥0，显然符合题意
当a＞0时，y′=1-

a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即a≤x²，在[2，+∞）恒成立，
∴a≤4，
综上所述a≤4，
故a的取值范围为（-∞，4]

点评：本题考查了对数函数的图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法