Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{

Sn

n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用a₁，a₃，a₇成等比数列以及首项，求出公差，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出S_n，进而求出数列{

Sn

n

}的通项，并判断出其为等差还是等比，再代入对应的求和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₃，a₇成等比数列，
得a₃²=a₁•a₇，
即（1+2d）²=1+6d
得d=

1

2

或d=0（舍去）．   
 故d=

1

2

．
所以an=

n+1

2

                                   
（Ⅱ）又Sn=

n(a1+an)

2

=

1

4

n2+

3

4

n，
则

sn

n

=

1

4

n+

3

4

又

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

4

（n+1）+

3

4

-（

1

4

n+

3

4

）=

1

4

{

Sn

n

}是首项为1，公差为

1

4

的等差数列．
所以T_n=n×1+

n(n-1)

2

×

1

4

=

1

8

n²+

7

8

n．

点评：本题是对数列基础知识的综合考查．解决这一类型题目的关键在于对数列知识的熟练掌握及应用．