Question

已知函数，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）的定义域是各部分定义域的交集．
（2）研究f（x）的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称时再看f（-x）与f（x）的关系．
（3）先看f（x）在区间（0，1）上的单调性，由函数的奇偶性，进而可得f（x）在（-1，0）内的单调性与在区间（0，1）上的单调性一致．
解答：解：（1）x须满足，
由＞0得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．
（2） 因为函数f（x）的定义域关于原点对称，
且对定义域内的任意x，
有，
所以f（x）是奇函数．
研究f（x）在（0，1）内的单调性，
任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁＜x₂，
则
=
由，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减，
由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（-1，0）内单调递减．
点评：本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性．