Question

抛物线y²=2px（p＞0）上有A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则（ ）
A．x₁，x₂，x₃成等差数列
B．x₁，x₃，x₂成等差数列
C．y₁，y₂，y₃成等差数列
D．y₁，y₃，y₂成等差数列

Answer 1

【答案】分析：利用抛物线的定义，将A、B、C三点到焦点的距离转化为它们到准线的距离即可．
解答：解：∵抛物线y²=2px（p＞0），
∴其准线方程为：x=-，
设点A，B，C在直线x=-上的射影分别为M，N，Q，
由抛物线的定义得：|AF|=|AM|=x₁+1，|BF|=|BN|=x₂+1，|CF|=|CQ|=x₃+1，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴2（x₂+1）=x₁+1+x₃+1，
∴2x₂=x₁+x₃，
∴x₁，x₂，x₃成等差数列，
故选A．
点评：本题考查抛物线的定义，考查等差数列的通项公式，A、B、C三点到焦点的距离转化为它们到准线的距离是关键，属于中档题．