Question

2．正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，求点B到平面PEF的距离．

Answer 1

分析 求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的 $\frac{1}{3}$，直接作垂线求解即可．

解答 解：如图，连接EP、FP、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFP上．否则，平面EFP和平面ABCD重合，从而点P在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFP，所以BD和平面EFP的距离就是点B到平面EFP的距离．
∵BD⊥AC，
∴EF⊥HC．
∵PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥PC，
∴EF⊥平面HCP．
∴平面EFP⊥平面HCP，HP是这两个垂直平面的交线．
作OK⊥HP交HP于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFP，所以线段OK的长就是点B到平面EFP的距离．
∵正方形ABCD的边长为4，PC=2，
∴AC=4$\sqrt{2}$，HO=$\sqrt{2}$，HC=3$\sqrt{2}$．
∴在Rt△HCP中，HP=$\sqrt{{（3\sqrt{2}）}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{22}$．
由于Rt△HKO和Rt△HCP有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCP．
∴OK=$\frac{HO•PC}{PH}$=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{22}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
即点B到平面EFP的距离为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．