Question

已知圆M经过点，并且与直线相切，圆心M的轨迹为曲线w．
①求w的方程
②若过点的直线l与曲线w交与PQ两点，PQ中点的横坐标为，求线段 PQ的长度．

Answer 1

解：（Ⅰ）过点M作MN垂直直线线于N．
依题意得|MN|=|AM|
所以动点M的轨迹为是以A（，0）为焦点，直线x=-为准线的抛物线，
即曲线W的方程是y²=6x
（Ⅱ）依题意，直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x=ky+，化简得y²-6ky-9=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=5
∴|PQ|=|PA|+|AQ|=+x₂=x₁+x₂+3=8
分析：（1）由题意可知，动圆到定点的距离与到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线，写出其方程．
（2）设出l的方程x=ky+，联立l和抛物线的方程，由已知中点的横坐标可求x₁+x₂，而由抛物线的定义可得，|PQ|=|PA|+|AQ|=x₁+x₂+3可求
点评：本题主要考查了抛物线的定义在抛物线的方程求解中的应用，抛物线的定义在求解弦长中的应用．