Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）定义域为（0，+∞），
∵，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分）
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=1…（7分）
（2），…（9分）
由题可知，在区间上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴在上有解…（11分）
令，则只需2a小于g（x）在上的最大值
由知，
∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，…（13分）
∴
又，
故，即…（15分）
分析：（1）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定f（x）在[1，e]上单调递增，从而可求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）求导函数，则在区间上存在子区间使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立，可转化为在上有解，求出右边函数的最大值，即可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，区分有解与恒成立问题是关键．