Question

设关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1（a，b∈R）．
（I）设集合P={1，2，4}和Q={-1，1，2}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数f（x）中a和b的值，求函数y=f（x）有且只有一个零点的概率；
（II）设点（a，b）是随机取自平面区域

2x+y-4≤0 x＞0 y＞0

内的点，求函数y=f（x）在区间（-∞，1]上是减函数的概率．

Answer 1

分析：（1）要使函数y=f（x）有且只有一个零点，也就是二次方程只有一个根，当且仅当△=16b²-4a=0，即a=4b²．分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，列举出其基本事件，数出其中满足a=4b²的事件个数．
（2）函数f（x）=ax²-4bx+1的图象特点在区间（-∞，1]上是减函数，得a≤2b且a＞0，画出图象，找出符合条件的事件表示的区域，根据几何概型公式得到结果．

解答：解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
要使函数y=f（x）有且只有一个零点，
当且仅当△=16b²-4a=0，即a=4b²．
分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，
可以是（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），
（2，1），（2，2），（4，-1），（4，1），（4，2）共9个基本事件，
其中满足a=4b²的事件有（4，1），（4，-1）共2个，
∴所求事件的概率为

2

9

．

（II）由题意知本题是一个几何概型，
∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，
由函数y=f（x）在区间（-∞，1]上是减函数，得a≤2b且a＞0，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

2a+b-4≤0 a＞0 b＞0

}，
即三角形区域AOB．且点A（2，0），点B（0，4）．
构成所求事件的区域为三角形区域BOC（如图）．
由

2a+b-4=0 a=2b

得交点坐标为C(

8

5

，

4

5

)，
∴所求事件的概率为P=

S△BOC

S△AOB

=

1 2 ×4× 8 5

1 2 ×4×2

=

4

5

．

点评：本题考查几何概型和古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．