Question

（2012•鹰潭一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．F₁，F₂分别为椭圆C的左，右焦点，A₁，A₂分别为椭圆C的左，右顶点．过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(

3

，2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S．当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(

3

，2)，可得

3

a2

+

4

a2-3

=1，求出a²=9，b²=a²-c²=6，从而可得椭圆C的方程；
（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．

解答：解：（1）∵过右焦点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(

3

，2)．
∴c=

3

，b²=a²-c²=a²-3．
∵点M(

3

，2)在椭圆上，∴

3

a2

+

4

a2-3

=1，
∴3a²-9+4a²=a⁴-3a²
∴a⁴-10a²+9=0，∴（a²-9）（a²-1）=0，
∴a²=9或a²=1＜c²（舍去）．
∴b²=a²-c²=6．
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

6

=1．…（4分）
（2）当l⊥x轴时，P(1，

4 3

3

)，Q(1，-

4 3

3

)，又A₁（-3，0），A₂（3，0）
lA1P：y=

3

3

(x+3)，lA2Q：y=

2 3

3

(x-3)，联立解得S(9，4

3

)．
当l过椭圆的上顶点时，y=

6

-

6

x，P(0，

6

)，Q(

9

5

，-

4 6

5

)lA1P：y=

6

3

(x+3)，lA2Q：y=

2 6

3

(x-3)，联立解得S(9，4

6

)．
若定直线存在，则方程应是x=9．…（8分）
下面给予证明．
把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m²+3）y²+4my-16=0，△＞0成立，记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1y2=

-16

2m2+3

．
lA1P：y=

y1

x1+3

(x+3)，lA2Q：y=

y2

x2-3

(x-3)
当x=9时，纵坐标y应相等，

12y1

x1+3

=

6y2

x2-3

，须

12y1

m y   1 +4

=

6y2

my2-2

须2y₁（my₂-2）=y₂（my₁+4），须my₁y₂=4（y₁+y₂）
∵y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1y2=

-16

2m2+3

．
∴m×

-16

2m2+3

=4×

-4m

2m2+3

成立．
综上，定直线方程为x=9．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．