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(2012•鹰潭一模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.F1,F2分别为椭圆C的左,右焦点,A1,A2分别为椭圆C的左,右顶点.过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
3
,2)

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.
分析:(1)根据过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
3
,2)
,可得
3
a2
+
4
a2-3
=1
,求出a2=9,b2=a2-c2=6,从而可得椭圆C的方程;
(2)利用特殊位置猜想结论,再进行一般性的证明.将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理可以证明.
解答:解:(1)∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
3
,2)

c=
3
,b2=a2-c2=a2-3.
∵点M(
3
,2)
在椭圆上,∴
3
a2
+
4
a2-3
=1

∴3a2-9+4a2=a4-3a2
∴a4-10a2+9=0,∴(a2-9)(a2-1)=0,
∴a2=9或a2=1<c2(舍去).
∴b2=a2-c2=6.
∴椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
6
=1
.…(4分)
(2)当l⊥x轴时,P(1,
4
3
3
)
Q(1,-
4
3
3
)
,又A1(-3,0),A2(3,0)
lA1P:y=
3
3
(x+3)
lA2Q:y=
2
3
3
(x-3)
,联立解得S(9,4
3
)

当l过椭圆的上顶点时,y=
6
-
6
x
P(0,
6
)
Q(
9
5
,-
4
6
5
)
lA1P:y=
6
3
(x+3)
lA2Q:y=
2
6
3
(x-3)
,联立解得S(9,4
6
)

若定直线存在,则方程应是x=9.…(8分)
下面给予证明.
把x=my+1代入椭圆方程,整理得(2m2+3)y2+4my-16=0,△>0成立,记P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=
-4m
2m2+3
y1y2=
-16
2m2+3

lA1P:y=
y1
x1+3
(x+3)
lA2Q:y=
y2
x2-3
(x-3)

当x=9时,纵坐标y应相等,
12y1
x1+3
=
6y2
x2-3
,须
12y1
m
y
 
1
+4
=
6y2
my2-2

须2y1(my2-2)=y2(my1+4),须my1y2=4(y1+y2
y1+y2=
-4m
2m2+3
y1y2=
-16
2m2+3

-16
2m2+3
=4×
-4m
2m2+3
成立.
综上,定直线方程为x=9.…(14分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查探究性问题,解题的关键是利用特殊位置猜想结论,再进行证明.
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