Question

设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞，0）上为增函数．
（1）若m•n＜0，m+n≤0，求证：f（m）+f（n）≤0；
（2）若f（1）=0，解关于x的不等式f（x²-2x-2）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据m•n＜0，m+n≤0可推知m、n一正一负．可设m＞0，n＜0，则可知n≤-m＜0，根据函数为奇函数可推知f（-m）=-f（m），再根据函数在（-∞，0）上为增函数判断-m和n的大小进而证明结论．
（2）先根据函数的奇偶性求出f（-1）=0，进而根据函数的单调性分别看x²-2x-2＞0和x²-2x-2＜0时f（x²-2x-2）＞0的解集，最后取并集得出答案．

解答：（1）证明∵m•n＜0，m+n≤0，∴m、n一正一负．
不妨设m＞0，n＜0，则n≤-m＜0．取n=-m＜0，
∵函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，则f（n）=f（-m）；取n＜-m＜0，同理
f（n）＜f（-m）∴f（n）≤f（-m）．又函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，
∴f（-m）=-f（m）．∴f（n）+f（m）≤0．
（2）解∵f（1）=0，f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，∴f（-1）=0，
∴原不等式可化为

x2-2x-2＞0 f(x2-2x-2)＞f(1)

或

x2-2x-2＜0 f(x2-2x-2)＞f(-1)

．
易证：f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴

x2-2x-2＞0 x2-2x-2＞1

或

x2-2x-2＜0 x2-2x-2＞-1

．∴x²-2x-3＞0或

x2- 2x-2＜0 x2-2x-1＞0

．
解得x＞3或x＜-1或

1- 3 ＜x＜1+ 3 x＞1+ 2 或x＜1- 2

．∴不等式的解集为
（-∞，-1）∪（1-

3

，1-

2

）∪（1+

2

，1+

3

）∪（3，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在运用函数的单调性时，要特别注意函数的单调区间．