Question

已知前n项和为S_n的等差数列{a_n}的公差不为零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n？若存在，求出所有正整数对（n，k）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列中a₄，a₅，a₈成等比数列，求出数列的公差，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）假设存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n，则由（1）知S_n=6n-n²，从而可得k=2+

5

n-6

，由此可得结论．

解答：解：（1）因为a₄，a₅，a₈成等比数列，所以a

2 5

=a₄a₈．
设数列{a_n}的公差为d，则（a₂+3d）²=（a₂+2d）（a₂+6d）．
将a₂=3代入上式化简整理得d²+2d=0，
又因为d≠0，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+7．
（2）假设存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n，则由（1）知S_n=

n(a1+an)

2

=6n-n²．
当n=6时，na_n=kS_n不成立，于是k=

nan

Sn

=

n(7-2n)

6n-n2

=

2n-7

n-6

=2+

5

n-6

．
因为k为正整数，所以n-6≤5，即n≤11，且5被n-6整除，
故当且仅当n-6=±5，或n-6=1时，k为正整数．
即当n=1时，k=1；n=11时，k=3；n=7时，k=7．
故存在正整数对（1，1），（11，3），（7，7），使得na_n=kS_n成立．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．