Question

（2012•北京）已知{a_n}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）

• A．a₁+a₃≥2a₂
• B．

  a

  2 1

  +

  a

  2 3

  ≥2

  a

  2 2

• C．若a₁=a₃，则a₁=a₂
• D．若a₃＞a₁，则a₄＞a₂

Answer 1

分析：a₁+a₃=

a2

q

+a2q，当且仅当a₂，q同为正时，a₁+a₃≥2a₂成立；

a

2 1

+

a

2 3

=(

a2

q

)2+( a2q)2≥2 

a

2 2

，所以

a

2 1

+

a

2 3

≥2

a

2 2

；若a₁=a₃，则a₁=a₁q²，从而可知a₁=a₂或a₁=-a₂；若a₃＞a₁，则a₁q²＞a₁，而a₄-a₂=a₁q（q²-1），其正负由q的符号确定，故可得结论．

解答：解：设等比数列的公比为q，则a₁+a₃=

a2

q

+a2q，当且仅当a₂，q同为正时，a₁+a₃≥2a₂成立，故A不正确；

a

2 1

+

a

2 3

=(

a2

q

)2+( a2q)2≥2 

a

2 2

，∴

a

2 1

+

a

2 3

≥2

a

2 2

，故B正确；
若a₁=a₃，则a₁=a₁q²，∴q²=1，∴q=±1，∴a₁=a₂或a₁=-a₂，故C不正确；
若a₃＞a₁，则a₁q²＞a₁，∴a₄-a₂=a₁q（q²-1），其正负由q的符号确定，故D不正确
故选B．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．