Question

设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出、的坐标，计算的值，把双曲线方程与OP方程联立解得 ，比较可得．
（2）由条件得：，根据k²＞0，得到b＞，计算e= 的范围．
解答：解：（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=，
解得 =，同理可得 ．
∴=．
设，则由双曲线方程与OP方程联立解得：
∴ 
∵点P在双曲线上，∴b²-a²k²＞0，无论点P在什么位置，总有  ．
（2）由条件得：，即  ，
∴4b＞a，∴e==＞=，即 e＞．
点评：本题考查两个向量的数量积，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，式子的变形、化简是解题的难点．