【题目】已知椭圆:的离心率为,且椭圆上一点的坐标为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)将点坐标代入椭圆方程,结合椭圆的离心率列方程,解方程求得的值,由此求得椭圆方程.(2)设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,消去,得到关于的一元二次方程,写出韦达定理,根据列方程,解方程求得的值.由此判断出直线过定点,由求得三角形面积的表达式,利用换元法,结合二次函数的单调性,求得三角形面积的最大值.
(1)由已知,又,则.
椭圆方程为,将代入方程得,,
故椭圆的方程为;
(2)不妨设直线的方程,
联立消去得.
设,,则有,①
又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,∴,
由,得,
将,代入上式得
,
将①代入上式求得或(舍),
则直线恒过点.
∴,
设,则在上单调递增,
当时,取得最大值.
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【题目】如图,数轴,的交点为,夹角为,与轴、轴正向同向的单位向量分别是,.由平面向量基本定理,对于平面内的任一向量,存在唯一的有序实数对,使得,我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标).
(1)若,为单位向量,且与的夹角为,求点的坐标;
(2)若,点的坐标为,求向量与的夹角;
(3)若,求过点的直线的方程,使得原点到直线的距离最大.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线的方程为,曲线是以坐标原点为顶点,直线为准线的抛物线.以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)分别求出直线与曲线的极坐标方程:
(2)点是曲线上位于第一象限内的一个动点,点是直线上位于第二象限内的一个动点,且,请求出的最大值.
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【题目】某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到位教师近年每人手机月平均使用流量(单位:)的数据,其频率分布直方图如下:
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.
(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取人,求这人中至多有人月使用流量不超过 的概率;
(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:
套餐名称 | 月套餐费(单位:元) | 月套餐流量(单位:) |
这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值 流量,资费元;如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值 流量,资费元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.
学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.
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【题目】为了解某中学学生对数学学习的情况,从该校抽了名学生,分析了这名学生某次数学考试成绩(单位:分),得到了如下的频率分布直方图:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的中位数(精确到);
(3)在这名学生的数学成绩中,从成绩在的学生中任选人,求次人的成绩都在中的概率.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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