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已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆 $数学公式$ 交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（Ⅲ）若 $数学公式$ =m（ $数学公式$ ），求△OAB面积S的取值范围．

解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则 $\text{[math]}$ ，
即b²=k²+1，k≠0，所以 $\text{[math]}$ （b＞0）
∴ $\text{[math]}$ （3分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由 $\text{[math]}$ ，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴ $\text{[math]}$ （5分）
从而 $\text{[math]}$ ，∴k=±1
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （7分）
∴直线l的方程为： $\text{[math]}$ ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知： $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ （10分）
由弦长公式，得 $\text{[math]}$
又点O到直线AB的距离 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （12分） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）由题设知 $\text{[math]}$ （b＞0），由此可知 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由 $\text{[math]}$ ，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，再由根的判别式和根与系数的关系可以求出直线l的方程．
（Ⅲ）由题设知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再由弦长公式，求出|AB|的长，用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，由此可以导出△OAB面积S的取值范围．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，解题时要注意弦长公式、点到直线的距离公式的灵活运用．

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已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

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