Question

已知直线l的参数方程为

x= 3 + 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

(θ为参数).
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）若直线l与线C交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系sin²θ+cos²θ=1消去参数θ，即可将曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

(θ为参数).化为普通方程；
（Ⅱ）先将

x= 3 + 1 2 t y=2+ 3 2 t

代入（1）中的普通方程得到一个关于参数t的一元二次方程，再利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系即可求得线段AB的长．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：

cosθ= x 4 sinθ= y 4

两式平方相加得：
x²+y²=16（5分）
（Ⅱ）将

x= 3 + 1 2 t y=2+ 3 2 t

代入x²+y²=16，并整理得t2+3

3

t-9=0
设A，B对应的参数为t₁，t₂，则t1+t2=-3

3

，t₁t₂=-9
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=3

7

（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在直线的参数方程中参数的几何意义，能进行极坐标和直角坐标的互化．