Question

如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC相似于三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，由此能用解析式将S表示成x的函数，并求出该函数的定义域．
（2）利用a+b≥2，当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最小值即可；
解答：解：（1）设AN的长为x米（x＞4）
由题意可知：∵=，∴=，
∴|AM|=，
∴S_AMPN=|AN|•|AM|=，
由S_AMPN＜150，得＜150，（x＞4），
∴4＜x＜25，
∴S=．定义域为4＜x＜25．
（2）∵S==
=6（x-4）++4≥2+4=8+4（10分）
当且仅当6（x-4）=，即x=4+时，取“=”号
即AN的长为4+米，矩形AMPN的面积最小，最小为80+4米．
点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．