Question

18．若函数f（x）=2ax²-x-1在（0，1）上恰有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先确定当a=0时，f（x）=-x-1，其零点符合要求，再确定当a≠0时，方程2ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即二次函数f（x）=2ax²-x-1在（0，1）内恰有一个零点，结合二次函数的图象特征建立不等关系f（0）•f（1）＜0，求解即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为-1∉[0，1]，∴a≠0；  
（2）当a≠0，∵方程2ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解，
即二次函数f（x）=2ax²-x-1在（0，1）内恰有一个零点，
∴f（0）•f（1）＜0，
即-1×（2a-2）＜0，
解得a＞1．
故a的取值范围为（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数零点问题．注意零点不是点，是函数f（x）=0时x的值．