Question

设函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数； ②存在[a，b]⊆D（b＞a），使得f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)=loga(a2x+t)(a＞0，a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（　　）

• A．(-∞，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．(0，

  1

  4

  )
• D．(0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．

解答：解答：解：依题意，函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=2x不满足条件②，
∴t＞0．
设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，
∴

loga(a2m+t)=m loga(a2n+t)=n

，
即

a2m+t=am a2n+t=an

，
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等的实根，
设y=a^x，则y＞0，
∴方程等价为y²-y+t=0的有两个不等的正实根，
即

△=1-4t＞0 y1y2=t＞0 y1+y2=1＞0

，
∴

t＜ 1 4 t＞0

，解得0＜t＜

1

4

，
故选C．

点评：本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．综合性较强．