Question

设S_n为数列{a_n}的前n项之和．若不等式

a

2 n

+

S 2 n

n2

≥λ

a

2 1

对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知5×a_n²+2×a₁•a_n+a₁²≥4λa₁²，两边除以a₁²，设 x=

an

a1

，有

5

4

(x+

1

5

)2+

1

5

≥λ．由此可知答案．

解答：解：∵Sn=

n

2

 (a1+an)
∴an2+ 

Sn2

n2

 ≥λa12可以转化为5×a_n²+2×a₁•a_n+a₁²≥4λa₁²
两边除以a₁²，设 x=

an

a1

，有

5

4

x2+

1

2

x+

1

4

≥λ，∴

5

4

(x+

1

5

)2+

1

5

≥λ
∴当 x=-

1

5

时，λ 有最大值

1

5

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件．