Question

已知条件p：|x-1|＞a（a≥0）和条件q：lg（x²-3x+3）＞0，
（1）求满足条件p，q的不等式的解集．
（2）分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：“若A，则B”，问是否存在非负实数a使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，若存在，求出a的取值范围．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别利用绝对值不等式及对数不等式的解法，求解满足条件p，q的不等式的解集即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在非负实数a符合题意，再必有p⇒q成立，反之不然，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）由条件p得：|x-1|＞a，
∴x＜1-a或x＞1+a．
∴满足条件p的解集A={x|x＜1-a或x＞1+a}…（3分）
由条件q得：x²-3x+3＞1即x²-3x+2＞0，
∴x＜1或x＞2，∴满足条件q的解集B={x|x＜1或x＞2}…（6分）
（2）存在．假设存在非负实数a符合题意，则必有p⇒q成立，反之不然．
∴A?B，则1-a≤1，且1+a≥2即a≥1．
∴存在非负实数a符合题意，此时a的取值范围是[1，+∞）…（12分）

点评：本题考查不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．