Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设

则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC

方程两边同乘以2R

∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c

整理得a2=b2+c2+bc

∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA

故cosA=﹣ ，A=120°

（2）解：由（1）得：sinB+sinC

=sinB+sin（60°﹣B）

= cosB+ sinB

=sin（60°+B）

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1

【解析】（1）根据正弦定理，设 ，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc，再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（2）根据（1）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．