Question

1．已知函数y=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）．
（1）若ω=$\frac{π}{4}$，求函数的单调增区间和对称中心；
（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．
①求ω的值；
②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）ω=$\frac{π}{4}$时求出函数y的单调增区间和对称中心；
（2）①由图知B是函数图象的最高点，设出点B的坐标和最小正周期，表示出点A、C的坐标，利用坐标表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$，根据数量积求出T、ω的值；
②由x的取值范围求出函数y的最大值，计算对应的x值．

解答 解：（1）ω=$\frac{π}{4}$时，函数y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-3+8k≤x≤1+8k，k∈Z，
∴函数y的单调增区间为[-3+8k，1+8k]，（k∈Z）；…（4分）
令$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=-1+4k，k∈Z，
∴函数y的对称中心为（-1+4k，0），（k∈Z）；…（8分）
（2）①由图知：点B是函数图象的最高点，设B（x_B，$\sqrt{3}$），
设函数最小正周期为T，则A（x_B-$\frac{T}{4}$，0），C（x_B+$\frac{3T}{4}$，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{3T}{4}$，-$\sqrt{3}$），…（10分）
由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{16}$T²-3=0，
解得：T=4，
∴ω=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$；…（12分）
②由x∈[0，2]得$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴函数y在[0，2]上的最大值为$\sqrt{3}$，…（14分）
此时$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则x=$\frac{1}{2}+$4k，k∈Z；
又x∈[0，2]，∴x=$\frac{1}{2}$．…（16分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合以及平面向量的应用问题，是综合性题目．