Question

如图所示，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

Answer 1

点M到x轴的最短距离是+1

解析:

  设P（x₀，y₀），则y₀=x,

∴过点P的切线斜率k=x₀,

当x₀=0时不合题意，∴x₀≠0.

∴直线l的斜率k_l=-=-,

∴直线l的方程为y-x=-(x-x₀).

此式与y=x²联立消去y得

x²+x- x-2=0.

设Q（x₁,y₁）,M(x,y).∵M是PQ的中点，

∴,

消去x₀，得y=x²++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x²＞0,

∴y=x²++1≥2+1=+1.

上式等号仅当x²=,即x=±时成立，

所以点M到x轴的最短距离是+1.