Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+5，
（1）若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方向向量为（-2，-6），且函数在x=时有极值，求f(x)的单调区间；
（2）在（1）的条件下，若函数y=f(x)在[-3，1]上与y=m²-2m+13有两个不同的交点，若g(x)=x²-2mx+1在区间[1，2]上的最小值，求实数m的值。

Answer 1

解：(1)∵f(x)=x³+ax²+bx+5，
∴f′(x)=3x²+2ax+b，
由已知f(x)在x=1处的切线斜率为=3，
∴，
∴a=2，b=-4，
∴f(x)=x³+2x²-4x+5，f′(x)=3x²+4x-4，
令f′(x)＞0得x＜-2 或x＞，
令f′(x)＜0得-2＜x＜，
∴f(x)在(-∞，-2)，(，+∞)上分别是增函数，f(x)在(-2，)上是减函数。
(2)由(1)可知，y=f(x)在x=-2时取得极大值，f(-2)=13，且f(-3)=8，f(-1)=4，
∴，
又g(x)=x²-2mx+1=(x-m)²+1-m²，
当0＜m＜1时，g(x)在[1，2]上的最小值为g(1)=2-2m=-，∴m=，与0＜m＜1矛盾；
②当1≤m＜2时，g(x)在[1，2]最小值为g(m)=1-m²=-，
∴m=或m=-（舍去）；
综上可知，m=。