Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在内恒成立，求实数的取值范围.
（Ⅲ），求证：．

Answer 1

（Ⅰ)当时,在单调递减,在上单调递增;
当时,在单调递减,在,上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在单调递减, 在,上单调递增;
（Ⅱ）
（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数，故需要分情况讨论.
（Ⅱ）思路一、一般地若任意使得，则;若任意使得，则.由得：恒成立，所以小于等于的最小值.
思路二、除外,是的一个极值点，故可首先考虑这个特殊值.由得: ，这样只需考虑时在内是否恒成立.这是本题的特点，需要仔细观察、分析.若发现其特点，则运算大大简化.所以这个题有较好的区分度.
（Ⅲ）涉及数列求和的不等式的证明，一般有两种类型，一种是先求和，后放缩；一种先放缩，后求和.
本题显然属于后者.
解答题中的最后一问，往往要用前面的结论，本题也不例外.由（Ⅱ）取可得：，由此可将不等式左边各项放缩.
但是如果第一项也用这个结论来放缩，则得不到右边的式子.这时就考虑从第二项开始，或从第三项开始用这个结论.
试题解析：（Ⅰ）
当时,在单调递减,在上单调递增;
当时,在单调递减,在,上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在单调递减, 在,上单调递增.
（Ⅱ）法一、由得：
令，则
令，则即
所以由得
所以在内单调递减，在内单调递增.所以
从而
法二、由得:
又时, 在单调递减,在上单调递增
所以即:
所以若在内恒成立，实数的取值范围为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知: 又时, 即(时取等号)
所以当时:
又,所以
．