【题目】设函数f(x)的定义域为R,如果存在函数g(x),使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0).
(1)若a=1,b=2.写出函数f(x)的一个承托函数(结论不要求证明);
(2)判断是否存在常数a,b,c,使得y=x为函数f(x)的一个承托函数,且f(x)为函数的一个承托函数?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)g(x)=x (2)存在,a=c=,b=.
【解析】
(1)由题意可得c=1,进而得到f(x),可取g(x)=x;
(2)假设存在常数a,b,c满足题意,令x=1,可得a+b+c=1,再由二次不等式恒成立问题解法,运用判别式小于等于0,化简整理,即可判断存在.
(1)函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),
可得a-b+c=0,又a=1,b=2,
则f(x)=x2+2x+1,
由新定义可得g(x)=x为函数f(x)的一个承托函数;
(2)假设存在常数a,b,c,使得y=x为函数f(x)的一个承托函数,
且f(x)为函数的一个承托函数.
即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立,
令x=1可得1≤a+b+c≤1,即为a+b+c=1,
即1-b=a+c,
又ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,可得a>0,且(b-1)2-4ac≤0,
即为(a+c)2-4ac≤0,即有a=c;
又(a-)x2+bx+c-≤0恒成立,
可得a<,且b2-4(a-)(c-)≤0,
即有(1-2a)2-4(a-)2≤0恒成立.
故存在常数a,b,c,且0<a=c<,b=1-2a,
可取a=c=,b=.满足题意.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线和曲线.
(1)判断射线和曲线公共点的个数;
(2)若射线与曲线 交于两点,且满足,求实数的值.
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【题目】2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中班、班,班、班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置,其中班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有
A. 18种 B. 24种 C. 48种 D. 36种
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【题目】某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分:方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
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【题目】某协会对,两家服务机构进行满意度调查,在,两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了人,每人分别对这两家服务机构进行独立评分,满分均为分.整理评分数据,将分数以为组距分成组:,,,,,,得到服务机构分数的频数分布表,服务机构分数的频率分布直方图:
定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 | 0 | 1 | 2 |
(1)在抽样的人中,求对服务机构评价“满意度指数”为的人数;
(2)从在,两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取人进行调查,试估计对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率;
(3)如果从,服务机构中选择一家服务机构,以满意度出发,你会选择哪一家?说明理由.
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【题目】如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为( )
(A) (B)- (C) (D)-
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【题目】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点,探究在轴上是否存在定点,使得为定值?若存在,试求出定值和点的坐标;若不存在,请说明理由.
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