(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹为C2,C1、C2的离心率分别为e1、e2,当e1≥时,求e2的取值范围.
(1)解法一:设P(x0,y0),Q(x,y),
∵A(-a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA,
∴
由(1)×(2),得=1. (3)
∵=1,∴.
代入(3)得b2y2=x2a2-a4,
即a2x2-b2y2=a4.
经检验点(-a,0)、(a,0)不合题意,
因此Q点的轨迹方程为a2x2-b2y2=a4〔除点(-a,0),(a,0)外〕.
解法二:设P(x0,y0),Q(x,y),
∵A(-a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA,
∴
∴
由(1)-(2),得2ax0=-2ax.
∴x0=-x. (3)
把(3)代入(2)可解得y0=-. (4)
把(3)(4)代入=1,得=1.
∵当x=±a时,不合题意,
∴x2-a2≠0.∴a2x2-b2y2=a4.
∴Q点的轨迹方程为a2x2-b2y2=a4〔除点(-a,0),(a,0)外〕.
解法三:设P(x0,y0),Q(x,y),
∵PA⊥QA,∴=-1. ①
连结PQ,取PQ中点R.
∵PA⊥QA,QB⊥PB,
∴|RA|=|PQ|,|RB|=|PQ|.
∴|RA|=|RB|.∴R点在y轴上.
∴=0,即x0=-x. ②
把②代入①,得=-1.∴y0=. ③
把②③代入=1,得=1.
∵x=±a时,不合题意,∴x2-a2≠0.
整理得a2x2-b2y2=a4.
∴Q点的轨迹方程为a2x2-b2y2=a4〔除点(-a,0),(a,0)外〕.
(2)解:由(1)得C2的方程为=1,
.
∵e1≥,e22≤1+=2,∴1<e2≤.
科目:高中数学 来源:高考零距离 二轮冲刺优化讲练 数学 题型:044
如下图所示,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当≤λ≤时,求双曲线离心率e的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)求证:点P在双曲线C的右准线上;
(2)求双曲线C的离心率的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式;
(2)当λ=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程.
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