Question

用定义证明：函数f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．

Answer 1

【答案】分析：利用定义判断函数的单调性，先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，做差后，应把差分解为几个因式的乘积的形式，通过判断每一个因式的正负，来判断积的正负，最后的出结论．
解答：证明：设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，1]，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁^-1-2x₂^-1
=（）+2（）=（x₂-x₁）[-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，
∴（x₂-x₁）[-（x₁+x₂）]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．
点评：本题主要考查了定义法证明函数的单调性，做题时应该严格按照步骤去做．属于基础题．