Question

【题目】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：

（1）直线A1E∥平面ADC1；

（2）直线EF⊥平面ADC1．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)先证明A1E∥AD，再证明直线A1E∥平面ADC1；（2）先证明AD⊥EF，EF⊥C1D，再证明直线EF⊥平面ADC1．

（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，

∴B1E∥BD且B1E=BD，

∴四边形B1BDE是平行四边形，

∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，

∴AA1∥DE且AA1=DE，

∴四边形AA1ED是平行四边形，

∴A1E∥AD，又∵A1E平面ADC1，AD平面ADC1，

∴直线A1E∥平面ADC1．

（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD平面ABC，所以AD⊥BB1，

又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，

∴AD⊥BC，又BB1，BC平面B1BCC1，BB1∩BC=B，

∴AD⊥平面B1BCC1，又EF平面B1BCC1，

∴AD⊥EF，

又EF⊥C1D，C1D，AD平面ADC1，C1D∩AD=D，

∴直线EF⊥平面ADC1．