Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+n在区间[0，

π

2

]上的最大值为3，则（Ⅰ）n=

 

；（Ⅱ）对任意a∈R，函数y=f（x+a）在[0，10π]上的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据正弦函数的图象求出函数的最值，即可求出n，
（Ⅱ）根据已知推断区间的长度为20π，求得函数的最小正周期，推断出在此区间共有多少个周期，利用每个周期内零点的个数推断出共计的零点个数．

解答： 解：（Ⅰ）当0≤x≤

π

2

，
则

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
则当2x+

π

6

=

π

2

时，函数取得最大值为f（x）=2+n=3，
解得n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴对于区间[a，a+20π]的长度为20π+a-a=20π，
∴在此区间上，函数f（x）可以有20个周期，
当a=-

π

12

+kπ（k∈Z）时，在第一个周期内恰有3个零点，以后每个周期均由2个零点，则此时零点个数为：20×2+1=41．
当a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）时，在每个周期内有2个零点，则此时零点个数为：20×2=40．
综合得零点的个数为40或41个，
故答案为：1，40或41．

点评：本题主要考查了三角形恒等变换的应用，三角函数图象与性质．求出函数的最值是解决本题的关键．