Question

某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元.以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以2007年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？
【解题思路】经审题抽象出数列模型

Answer 1

（1）第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.
（2）该乡到2015年底可以达到小康水平.

（Ⅰ）若以2007年为第一年,则第n年该乡从这两家企业获得的利润为
    == 
当且仅当,即n=2时,等号成立，
所以第二年（2008年）上交利润最少，利润为960万元.
由2000–960=1040（万元）知：还需另筹资金1040万元可解决温饱问题.
（Ⅱ）2015年为第9年,该年可从两个企业获得利润
 
所以该乡到2015年底可以达到小康水平.
【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用.