Question

（2010•江门一模）已知函数f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

．
（1）求f（x）的定义域和最大值；
（2）设a是第一象限角，且tan

a

2

=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

分析：（1）由分母不为0，可得函数的定义域；利用辅助角公式化简函数，可求函数的最值；
（2）由tan

a

2

=

1

2

得tana的值，从而可求求f（a）的值．

解答：解：（1）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）…（2分），
所以f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠kπ，其中k∈Z}…（3分），
f（x）=

2sinxcosx+2sin2x

2sinx

=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）…（7分），
因为x≠kπ（k∈Z），所以f（x）的最大值M=

2

…（8分）．
（2）由tan

a

2

=

1

2

得tana=

2tan a 2

1-tan2 a 2

=

4

3

…（9分），
因为a是第一象限角，所以sina=

4

5

，cosa=

3

5

…（11分），
所以f（a）=sina+cosa=

7

5

…（12分）．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．