【题目】设点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)设直线l:y=kx与E交于C,D两点,F1(-1,0),F2(1,0),若E上存在点P,使得,求实数k的取值范围.
【答案】(1),(x≠±2)(2)k的取值范围是[-)∪(0,]
【解析】
(1)设M(x,y),由题意得 ,由此能求出点M的轨迹E的方程.
(2)设C(x1,y1),P(2cos,),则=2,点P到直线l的距离d==≤,|CD|=2|y1|,k≠0,从而S△PCD=≤|y1|.从而只需4|y1|≤|y1|,由此能求出k的取值范围.
(1)设M(x,y),由题意得: (x≠±2),
化简,得点M的轨迹E的方程为,(x≠±2).
(2)设C(x1,y1),P(2cos,),
∴=2=,
点P到直线l的距离d=≤,
∵|CD|=2|y1|,k≠0,
∴S△PCD=≤|y1|=|y1|.
∵E上存在点P,使得,
∴只需4|y1|≤|y1|,解得k2.
∵k≠0,∴k的取值范围是[-)∪(0,].
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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(﹣1,0),,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.
(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求的最小值;
(2)若R,求的最大值及对应的x值.
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【题目】下面四个命题:
①在定义域上单调递增;
②若锐角,满足,则;
③是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若,则;
④函数的一个对称中心是;
其中真命题的序号为______.
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
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【题目】设椭圆E的方程为 (a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数.
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【题目】已知函数.
Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
Ⅱ若对于都有成立,试求a的取值范围;
Ⅲ记当时,函数在区间上有两个零点,求实数b的取值范围.
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