Question

（2012•绵阳二模）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=

2x

x+2

；   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e为自然对数的底数），g（x）=2-x；④f（x）=

2

3

x-

5

8

，g（x）=

x

．
其中，函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”的是

①④

．

Answer 1

分析：对照新定义，构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”，即可得到结论

解答：解：对于①，设h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-

2x

x+2

，
∴h′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

≥0
∵0≤x≤4
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=0，h（4）=ln5-

4

3

∵|ln5-

4

3

|≤1
∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”；
对于②，设h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1，h′（x）≤0，1≤x≤4，h′（x）≥0
∵h（0）=1，h（1）=-1，h（4）=53
∴函数在x=1时，取得最小值-1；在x=4时，取得最大值53，
故不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
对于③，设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-2，
∴h′（x）=e^x-1
∵0≤x≤4
∴h′（x）≥0
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=-1，h（4）=e⁴-6
∵e⁴-6＞1
∴不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
对于④，设h（x）=f（x）-g（x）=

2

3

x-

5

8

-

x

．x=0时满足题意
x≠0时，h′(x)=

2

3

-

1

2 x

∵0＜x≤4
∴0＜

x

≤2
∴h′(x)=

2

3

-

1

2 x

≥

2

3

-

1

4

＞0
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=-

5

8

，h（4）=

1

24

∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”；
故答案为：①④

点评：本题是一道新定义题，要理清定义的条件和结论，将问题转化为已知的去解决，主要涉及了函数的单调性，函数的最值求法等．