Question

16．已知m＞0，命题p：函数f（x）=log_mx是（0，+∞）的增函数，命题q：g（x）=ln（mx²-$\frac{2}{3}$x+m）的值域为R，且p∧q是假命题，p∨q是真命题，则实数m的范围（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 分别解出p，q为真时的m的范围，再根据p，q一真一假，得到不等式组，从而求出m的范围．

解答 解：已知m＞0，命题p：函数f（x）=log_mx是（0，+∞）的增函数，
则p为真时：m＞1；
命题q：g（x）=ln（mx²-$\frac{2}{3}$x+m）的值域为R，
则mx²-$\frac{2}{3}$x+m能取遍所有的正实数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=\frac{4}{9}-{4m}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{1}{3}$，
∴q为真时，0＜m＜$\frac{1}{3}$，
若p∧q是假命题，p∨q是真命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：只需$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥\frac{1}{3}或m≤0}\end{array}\right.$，解得：m＞1，
p假q真时：只需$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{0＜m＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{1}{3}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．