Question

【题目】设函数已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 和x=1处取得极值．
（1）求a，b的值及其单调区间；
（2）若对x∈[﹣1，2]不等式f（x）≤c2恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解；f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b

由 ，解得，a=﹣ ，b=﹣2，

f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），

函数f（x）的单调区间如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），递减区间是（﹣ ，1）．

（2）解；f（x）=x3﹣ x2﹣2x+c，x∈[﹣1，2]，

当x=﹣ 时，f（x）= +c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．

要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．

解得c＜﹣1或c＞2

【解析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣ 与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣ ）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．