Question

18．函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$，则a=0．

Answer 1

分析 由辅角公式可得：y=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+φ），再结合正弦函数的性质与题中的条件得到：当x=$\frac{π}{4}$时，函数取到最值±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，然后将x=$\frac{π}{4}$代入函数f（x）的解析式得到关于a的方程，进而解方程即可求出a的值．

解答 解：法一：函数f（x）=sin2x+acos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ），（其中sinθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$），
∵函数f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$，
∴当x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最值±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
把x=$\frac{π}{4}$代入f（x）得：sin$\frac{π}{2}$+acos$\frac{π}{2}$=1=±$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
两边平方得：1=a²+1，即a=0，
故答案为：0
法二：∵函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$，
∴f（0）=f（$\frac{π}{2}$），即：sin0+acos0=sinπ+acosπ，
∴a=-a，解得：a=0．
故答案为：0．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．