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设向量
a
=(sin
π
2
x,cos
π
2
x,
b
=(sin
π
2
x,
3
sin
π
2
x),x∈R,函数f(x)=
a
•(
a
+2
b
).
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值和最小值;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移
1
6
个单位后,再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,计算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2015).
考点:平面向量数量积的运算,对数的运算性质,三角函数中的恒等变换应用
专题:三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析:(1)利用向量的坐标表示出f(x)的解析式,利用两角和公式对函数解析式化简整理,最后利用正弦函数的有界性确定最值.
(2)由三角函数的图象变换求出g(x)的解析式,发现g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2015)的周期再求值.
解答: 解:因为
a
=(sin
π
2
x,cos
π
2
x),
b
=(sin
π
2
x,
3
sin
π
2
x),x∈R,
所以函数f(x)=
a
•(
a
+2
b
)=(sin
π
2
x,cos
π
2
x)(3sin
π
2
x,cos
π
2
x+2
3
sin
π
2
x)
=3sin2
π
2
x+cos2
π
2
x+2
3
cos
π
2
xsin
π
2
x=2+2sin(πx-
π
6
),
所以(1)f(x)在[0,1]上的最大值为4和最小值1;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移
1
6
个单位后,再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=2+2sin
π
2
x

其周期为:4,所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0,所以g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2015)=g(1)+g(2)+g(3)=0.
点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图象和性质,考查了学生对基础知识的掌握程度.
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