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    【题目】如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点.

    （1）求证：平面；

    （2）若锐二面角的正弦值为，求点F的位置.

    【答案】（1）证明见解析（2）点F为线段的中点

    【解析】

    (1)证明,即可.

    (2) 以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设,进而利用空间向量求解锐二面角的正弦值关于的表达式,进而求得即可判断.

    （1）如下图所示,由于四边形是菱形,则,

    又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,

    ∵,∴.

    ∵底面,平面,∴,

    ∵,平面,

    ∴平面；

    （2）由（1）知,,且底面,以点A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

    由则点,,

    设,

    则,

    设平面的一个法向量为,

    由,即,取,则,,则平面的一个法向量为,

    同理可得平面的一个法向量为,

    ∵二面角的正弦值为

    ∴,解得.

    因此,当点F为线段的中点时,二面角的正弦值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集．整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

    a．国家创新指数得分的频率分布直方图（数据分成7组：，，，，，，）；

    b．国家创新指数得分在这一组的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．

    c．40个国家的人均国内生产总值（万美元）和国家创新指数得分情况统计图：

    d．中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9960美元．

    （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

    根据以上信息，解答下列问题：

    （1）中国的国家创新指数得分排名世界第几？

    （2）是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？

    （3）用（1）（2）得到的结论，结合所学知识．合理解释d中客观存在的数据．

    附：．

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且 ）曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为： ，曲线的极坐标方程为.

    （1）求与的交点到极点的距离；

    （2）设与交于点，与交于点，当在上变化时，求的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.

    （1）求椭圆的方程.

    （2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，是⊙的直径，是⊙的切线，交⊙于E，过E的切线与交于D.

    （I）求证：；

    （II）若，，求的长.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列命题中：①若“”是“”的充要条件；

    ②若“，”，则实数的取值范围是；

    ③已知平面、、，直线、，若，，，，则；

    ④函数的所有零点存在区间是.

    其中正确的个数是（ ）

    A.B.C.D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．

    (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；

    (2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－＋－4x＋.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某人某天的工作是：驾车从地出发，到两地办事，最后返回地，三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如下表：

    路段

    正常行驶所需时间（小时）

    上午降水概率

    下午降水概率

    2

    0.3

    0.6

    2

    0.2

    0.7

    3

    0.3

    0.9

    若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.

    现有如下两个方案：

    方案甲：上午从地出发到地办事，然后到达地， 下午在地办事后返回地；

    方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地.设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.

    现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数字继续读取，每次读取4位随机数，第1位数表示采取的方案，其中0-4表示采用方案甲，5-9表示采用方案乙；第2-4位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某路段降水概率为，则表示降水，表示不降水.（符号表示的数集包含）

    05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74

    07 97 10 88 23099842 99 64 61 71 6299 15 061 29 169358 05 77 05 91

    51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

    26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94

    14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43

    （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回地的时间；

    （2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲、乙两个方案的平均时间，并回答哪个方案办完事后能尽早返回地.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，三棱柱中，，.

    （1）证明：；

    （2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

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